График тангенса, с примерами построения

Сложный аргумент

загар⁡(Икс+я⋅у)знак равногрех⁡(2Икс)потому что⁡(2Икс)+шиш⁡(2у)+ягрех⁡(2у)потому что⁡(2Икс)+шиш⁡(2у){\ Displaystyle \ загар (х + \ mathrm {я} \! \ cdot \! y) = {\ frac {\ sin (2x)} {\ cos (2x) + \ cosh (2y)}} + \ mathrm { i} \; {\ frac {\ sinh (2y)} {\ cos (2x) + \ ch (2y)}}}   С участием Икс,у∈Р.{\ displaystyle x, y \ in \ mathbb {R}}

детская кроватка⁡(Икс+я⋅у)знак равно-грех⁡(2Икс)потому что⁡(2Икс)-шиш⁡(2у)+ягрех⁡(2у)потому что⁡(2Икс)-шиш⁡(2у){\ Displaystyle \ кроватка (х + \ mathrm {я} \! \ cdot \! y) = {\ frac {- \ sin (2x)} {\ cos (2x) — \ cosh (2y)}} + \ mathrm {i} \; {\ frac {\ sinh (2y)} {\ cos (2x) — \ ch (2y)}}}   С участием Икс,у∈Р.{\ displaystyle x, y \ in \ mathbb {R}}

Понятие угла: радиан, градус

Давай посмотрим на рисунке. Вектор «повернулся» относительно точки на некую величину.

Так вот мерой этого поворота относительно начального положения и будет выступать угол .

Что же ещё необходимо знать о понятии угла?

Ну, конечно же, единицы измерения угла!

Угол, как в геометрии, так и в тригонометрии, может измеряться в градусах и радианах.

Углом в (один градус) называют центральный угол в окружности, опирающийся на круговую дугу, равную части окружности.

Таким образом, вся окружность состоит из «кусочков» круговых дуг, или угол, описываемый окружностью, равен .

То есть на рисунке выше изображён угол , равный , то есть этот угол опирается на круговую дугу размером длины окружности.

Углом в радиан называют центральный угол в окружности, опирающийся на круговую дугу, длина которой равна радиусу окружности.

Ну что, разобрался?

Если нет, то давай разбираться по рисунку.

Итак, на рисунке изображён угол , равный радиану, то есть этот угол опирается на круговую дугу, длина которой равна радиусу окружности (длина равна длине или радиус равен длине дуги ).

Cинус, косинус, тангенс, котангенс угла в прямоугольном треугольнике

Итак, с понятием угла разобрались. А что же всё-таки такое синус, косинус, тангенс, котангенс угла?

Давай разбираться. Для этого нам поможет прямоугольный треугольник.

Как называются стороны прямоугольного треугольника?

Всё верно, гипотенуза и катеты.

Причём, если рассматривать катеты относительно угла \( \angle BAC\), то катет \( AB\) – это прилежащий катет, а катет \( BC\) – противолежащий.

Итак, теперь ответим на вопрос: что такое синус, косинус, тангенс и котангенс угла?

В нашем треугольнике \( \sin \beta =\frac{BC}{AC}\).

В нашем треугольнике \( \cos \beta =\frac{AB}{AC}\).

В нашем треугольнике \( tg\beta =\frac{BC}{AB}\).

В нашем треугольнике \( ctg\beta =\frac{AB}{BC}\).

Эти определения необходимо запомнить!

А дальше можно придумать цепочку ассоциаций. К примеру, вот такую:

Косинус→касаться→прикоснуться→прилежащий;

Котангенс→касаться→прикоснуться→прилежащий.

В первую очередь, необходимо запомнить, что синус, косинус, тангенс и котангенс как отношения сторон треугольника не зависят от длин этих сторон (при одном угле).

Не веришь?

Тогда убедись, посмотрев на рисунок:

Рассмотрим, к примеру, косинус угла \( \beta \).

По определению, из треугольника \( ABC\): \( \cos \beta =\frac{AB}{AC}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\).

Но ведь мы можем вычислить косинус угла \( \beta \) и из треугольника \( AHI\): \( \cos \beta =\frac{AH}{AI}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}\).

Видишь, длины у сторон разные, а значение косинуса одного угла одно и то же. Таким образом, значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса зависят исключительно от величины угла.

Если разобрался в определениях, то вперёд закреплять их!

Для треугольника \( ABC\), изображённого ниже на рисунке, найдём \( \sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\( \begin{array}{l}\sin \ \alpha =\frac{4}{5}=0,8\\\cos \ \alpha =\frac{3}{5}=0,6\\tg\ \alpha =\frac{4}{3}\\ctg\ \alpha =\frac{3}{4}=0,75\end{array}\)Ну что, уловил?

Тогда пробуй сам: посчитай то же самое для угла \( \beta \).

Метафора для синуса и косинуса: купол

Вместо того, чтобы просто смотреть на сами треугольники, представьте их в действии, найдя какой-то частный пример из жизни.

Представьте, будто вы находитесь посередине купола и хотите подвесить экран для кинопроектора. Вы указываете пальцем на купол под неким углом “x”, и к этой точке должен быть подвешен экран.

Угол, на который вы указываете, определяет:

• синус(x) = sin(x) = высота экрана (от пола до точки крепления на куполе)
• косинус(x) = cos(x) = расстояние от вас до экрана (по полу)
• гипотенуза, расстояние от вас к верхушке экрана, всегда одинаковое, равно радиусу купола

Хотите, чтобы экран был максимально большой? Повесьте его прямо над собой.

Хотите, чтобы экран висел на максимально большом расстоянии от вас? Вешайте его прямо перпендикулярно. У экрана будет нулевая высота в этом положении, и он будет висеть наиболее отдаленно, как вы и просили.

Высота и расстояние от экрана обратно пропорциональны: чем ближе висит экран, тем его высота будет больше.

Определение тригонометрических функций через окружность

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат с началом в точке и с осями и . Возьмём в этой системе координат окружность с центром в точке и радиусом, равным единице. Пусть отрезок поворачивается на произвольный угол вокруг центра

Синусом угла называется отношение ординаты точки к длине отрезка Обозначают Так как длина отрезка равна , то

Косинусом угла называется отношение абсциссы точки к длине отрезка Обозначают Так как длина отрезка равна 1, то

Тангенсом угла называется отношение ординаты точки к абсциссе точки . Обозначают (в англоязычной литературе Так как и то

Котангенсом угла называется отношение абсциссы точки к ординате точки . Обозначают (в англоязычной литературе Так как и то Котангенс равен обратному значению тангенса:

Секансом угла называется отношение длины отрезка к абсциссе точки . Обозначают Так как длина отрезка равна 1, то Секанс равен обратному значению косинуса:

Косекансом угла называется отношение длины отрезка к ординате точки . Обозначают (в англоязычной литературе Так как длина отрезка равна , то Косеканс равен обратному значению синуса:

Из определения следует: если косинус угла равен нулю, то тангенс и секанс этого угла не существуют. Аналогично для котангенса и косеканса: если синус угла равен нулю, то котангенс и косеканс этого угла не существуют.

sin x =1

Эта ассоциация помогает легко запомнить значения x, в которых синус равен 1, и быстро решить уравнение sin x =1.

Частные случаи синуса, как и частные случаи косинуса, удобнее всего искать на единичной окружности.

Итак, косинус — колобок. Оба начинаются с ко-, и буква o в имени cos x такая же круглая, как колобок.

Как движется колобок? Влево-вправо, с его круглой фигурой вверх-вниз особо не попрыгаешь. На координатной плоскости влево-вправо движется x. Значит, косинус — это x, а синус — это y.

Поэтому, чтобы определить, где sin x =1, нам надо найти, где на единичной окружности y=1. Двигаемся вверх по оси y и попадаем в точку п/2.

Это только одна из точек, в которых синус равен единице.

Через полный оборот окружности мы снова попадем в эту точку, через два, три и т.д. оборотов — тоже.

Если пойдем по часовой стрелке, то есть -2п, -2п·2, -2п·3 и т.д., то тоже попадем в эту точку.

Чтобы учесть все точки, в которых sin x =1, прибавляем к п/2 2пn, где n — целое число (n принадлежит Z). То есть n=0,±1,±2,±3,…

Значения основных функций тригонометрии

Основные тождества из геометрии связывают с собой sin α, cos α, tg α, ctg α для определенного угла. С помощью одной функции вы легко сможете найти другую.

Определение 3

Для того, чтобы найти синус по известному косинусу, sin2α+cos2α=1 . 

Определение 4

Тангенс по известному косинусу tg2α+1=1cos2α . 

Определение 5

Котангенс по известному синусу или наоборот 1+ctg2α= 1sin2α . 

Определение 6

Тангенс через котангенс или наоборот можно найти благодаря удобной формуле: tg α·ctg α=1 . 

Для того, чтобы закрепить полученные знания, рассмотрим их на подробном примере

Пример 6

Необходимо найти значение синуса угла π8, если tg π8=2-1 . 

Сначала найдем котангенс угла: ctgπ8=1tgπ8=12-1=2+1(2-1)·(2+1)= 2+1(2)2-12=2+1  Воспользуемся формулой 1+ctg2α=1sin2α . Благодаря этому мы вычисляем значение синуса. Имеемsin2π8=11+ctg2π8=11+(2+1)2=14+22=12·(2+2)=2-22·(2+2)·(2-2)==2-22·(22-(2)2)=2-24

Для завершения необходимо определить значение синуса. Угол π8 является углом первой четверти, то синус является положительным. Чтобы точно определить знак, вы можете воспользоваться таблицей, в которой определены знаки по четвертям координатной плоскости. Таким образом, sin π8=sin2π8=2-24=2-22 .  sin π8=2-22.

Универсальная тригонометрическая подстановка

Основные тригонометрические формулы завершаются такими формулами, которые выражают функции тригонометрии через тангенс половинного угла.Такая замена называется – универсальная тригонометрическая подстановка. Она очень удобно тем, что любая тригонометрическая функция выражается рационально через тангенс половинного угла без корней.

Универсальная тригонометрическая подстановка

Эти формулы выражаются через тангенс половинного угла.

Итак, мы написали самые простые и самые основные формулы, которые необходимо знать каждому учащемуся. Ведь именно при их помощи изучается тригонометрия. Кроме того, многие формулы необходимо знать для более эффективной подготовки к ЕГЭ.

Тригонометрическое определение

С помощью формул, указанных выше, можно найти синус и косинус острого угла. Но нужно научиться вычислять синус и косинус угла произвольной величины. Прямоугольный треугольник не даёт такой возможности (тупого угла, например, в нём быть не может); следовательно, нужно более общее определение синуса и косинуса, содержащее указанные формулы как частный случай.

На помощь приходит тригонометрическая окружность. Пусть дан некоторый угол; ему отвечает одноимённая точка на тригонометрической окружности.

Рис. 2. Тригонометрическое определение синуса и косинуса

Косинус угла – это абсцисса точки. Синус угла – это ордината точки.

На рис. 2 угол взят острым, и легко понять, что данное определение совпадает с общим геометрическим определением. В самом деле, мы видим прямоугольный треугольник с единичной гипотенузой O и острым углом. Прилежащий катет этого треугольника есть cos (сравните с рис. 1) и одновременно абсцисса точки ; противолежащий катет есть sin (как на рис. 1) и одновременно ордината точки.

Но теперь мы уже не стеснены первой четвертью и получаем возможность распространить данное определение на любой угол . На рис. 3 показано, что такое синус и косинус угла во второй, третьей и четвёртой четвертях.

Рис. 3. Синус и косинус во II, III и IV четвертях

Тангенс и котангенс через синус и косинус

Немного вводных:

• Синус угла  — это ордината y.
• Косинус угла  — это абсцисса x.
• Тангенс угла  — это отношение ординаты к абсциссе. 
• Котангенс угла — это отношение абсциссы к ординате.

Из всего этого множества красивых, но не сильно понятных слов, можно сделать вывод о зависимости одного от другого. Такая связь помогает отдельно преобразовывать нужные величины.

• tg α =
• ctg α =

Исходя из определений:

• tg α = =
• ctg α = =

Это позволяет сделать вывод, что тригонометрические тождества 

задаются sin и cos углов.

Отсюда следует, что тангенс угла — это отношение синуса угла к косинусу. А котангенс угла — это отношение косинуса к синусу.

Отдельно стоит обратить внимание на то, что тригонометрические тождества

верны для всех углов α, значения которых вписываются в диапазон. 

Например,  выражение применимо для любого угла α, не равного + π + z, где z — это любое целое число. В противном случае, в знаменателе будет стоять 0.

Выражение

применимо для любого угла α, не равного π * z, где z — это любое целое число. 

Развитие серии

Касательная для | x | <½π (в радианах )

касательная

Ряд Тейлора с точкой разработки ( ряд Маклорена ) читает дляИксзнак равно{\ displaystyle x = 0}|Икс|<π2{\ Displaystyle | х | <{\ гидроразрыва {\ pi} {2}}}

загар⁡Иксзнак равно∑пзнак равно1∞(-1)п-1⋅22п⋅(22п-1)⋅Б.2п(2п)!Икс2п-1знак равно∑пзнак равно1∞22п+1π2п⋅λ(2п)⋅Икс2п-1знак равноИкс+13Икс3+215-еИкс5+17-е315Икс7-е+622835Икс9+1382155925Икс11+⋯{\ displaystyle {\ begin {align} \ tan x & = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n-1} \ cdot 2 ^ {2n} \ cdot \ left (2 ^ {2n} -1 \ right) \ cdot B_ {2n}} {(2n)!}} x ^ {2n-1} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ гидроразрыв {2 ^ {2n + 1}} {\ pi ^ {2n}}} \ cdot \ lambda (2n) \ cdot x ^ {2n-1} \\ & = x + {\ frac {1} {3} } x ^ {3} + {\ frac {2} {15}} x ^ {5} + {\ frac {17} {315}} x ^ {7} + {\ frac {62} {2835}} x ^ {9} + {\ frac {1382} {155925}} x ^ {11} + \ dotsb \ end {align}}}

Здесь, в Бернулли числа и Л (х) является лямбда — функция Дирихле называется.
Б.п{\ displaystyle B_ {n}}

котангенс

Линия Laurent предназначена для<|Икс|<π{\ Displaystyle 0 <| х | <\ pi}

детская кроватка⁡Иксзнак равно∑пзнак равно∞(-1)п22пБ.2п(2п)!Икс2п-1знак равно1Икс-13Икс-145Икс3-2945Икс5-14725Икс7-е-293555Икс9-⋯{\ displaystyle {\ begin {align} \ cot x & = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} {\ frac {2 ^ {2n} B_ {2n}} { (2n)!}} X ^ {2n-1} \\ & = {\ frac {1} {x}} — {\ frac {1} {3}} x — {\ frac {1} {45}} x ^ {3} — {\ frac {2} {945}} x ^ {5} — {\ frac {1} {4725}} x ^ {7} — {\ frac {2} {93555}} x ^ {9} — \ dotsb \ end {align}}}

Частичное разложение фракции в cotangene читает дляИкс∈С.∖Z{\ Displaystyle х \ в \ mathbb {C} \ setminus \ mathbb {Z}}

πдетская кроватка⁡πИксзнак равно1Икс+∑kзнак равно1∞(1Икс+k+1Икс-k)знак равно1Икс+∑kзнак равно1∞2ИксИкс2-k2.{\ displaystyle {\ begin {align} \ pi \ cot \ pi x & = {\ frac {1} {x}} + \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {1 } {x + k}} + {\ frac {1} {xk}} \ right) \\ & = {\ frac {1} {x}} + \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} { \ frac {2x} {x ^ {2} -k ^ {2}}}. \ end {align}}}

Тангенс и косинус, котангенс и синус

Все тождества выше позволяют сделать вывод, что тангенс угла связан с косинусом угла, а котангенс угла  — с синусом.

Эта связь становится очевидна, если взглянуть на тождества:
 

tg2α + 1 =

Сумма квадрата тангенса угла и единицы равна числу, обратному квадрату косинуса этого угла.

1 + ctg2α =

Сумма единицы и квадрата котангенса угла равна числу, обратному квадрату синуса этого угла.

Вывести оба этих тождества можно из основного тригонометрического тождества:
sin2α + cos2α = 1.
 

1. Для этого нужно поделить обе части тождества на cos2α, где косинус не равен нулю.
2. В результате деления получаем формулу tg2α + 1 =
3. Если обе части основного тригонометрического  тождества sin2α + cos2α = 1 разделить на  sin2α, где синус не равен нулю, то получим тождество:
   1 + ctg2α = . 
4. Отсюда можно сделать вывод, что тригонометрическое тождество tg2α + 1 = применимо для любого угла α, не равного + π + z, где z — это любое целое число.
5. А тригонометрическое тождество 1 + ctg2α = применимо для любого угла, не равного π * z, где z — это любое целое число. 

Хорошо бы выучить все формулы и запомнить формулировки тождеств наизусть. Чтобы это сделать, сохраняйте себе табличку с основными формулами. 

Основные тригонометрические тождества

1	sin2α + cos2α = 1
2
3
4	tgα * ctgα = 1
5	tg2α + 1 =
6	1 + ctg2α =

Чтобы тратить еще меньше времени на решение задач, сохраняйте таблицу значений тригонометрических функции углов, которые чаще всего встречаются в задачах.

Таблица основных тригонометрических функций для углов 0, 30, 45, 60, 90, …, 360 градусов

Исходя из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса можно найти значения этих функций для углов 0 и 90 градусов

sin =, cos =1, tg =, котангенс нуля — не определен,

sin 90°=1, cos 90°=, сtg 90°=, тангенс дявяноста градусов не определен.

Значения синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов в курсе геометрии определяются как соотношения сторон прямоугольного треугольника, углы которого равны 30, 60 и 90 градусов, и также 45, 45 и 90 градусов.

Определение тригонометрических функуций для острого угла в прямоугольном треугольнике

Синус — отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс — отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенс — отношение прилежащего катета к противолежащему.

В соответствии с определениями находятся значения функций:

sin 30°=12, cos 30°=32, tg 30°=33, ctg 30°=3,sin 45°=22, cos 45°=22, tg 45°=1, ctg 45°=1,sin 60°=32, cos 45°=12, tg 45°=3, ctg 45°=33.

Сведем эти значения в таблицу и назовем ее таблицей основных значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Таблица основных значений синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов

α°

30
45
60
90
sin α

12
22
32
1
cos α
1
32
22
12

tg α

33
1
3
не определен
ctg α
не определен
3
1
33

α, радиан

π6
π4
π3
π2

Одно из важных свойств тригонометрических функций — периодичность. На основе этого свойства данную таблицу можно расширить,используя формулы приведения. Ниже представим расширенную таблицу значений основных тригонометрических функций для углов 0, 30, 60, … ,120, 135, 150, 180, … , 360 градусов ( 0 ,   π 6 ,   π 3 ,   π 2 ,   . . .   ,   2 π радиан).

Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов

α°

30
45
60
90
120
135
150
180
210
225
240
270
300
315
330
360
sin α

12
22
32
1
32
22
12

-12
-22
-32
-1
-32
-22
-12

cos α
1
32
22
12

-12
-22
-32
-1
-32
-22
-12

12
22
32
1
tg α

33
1
3
—
-1
-33

33
1
3
—
-3
-1
 

ctg α
—
3
1
33

-33
-1
-3
—
3
1
33

-33
-1
-3
—
α, радиан

π6
π4
π3
π2
2π3
3π4
5π6
π
7π6
5π4
4π3
3π2
5π3
7π4
11π6
2π

Периодичность синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяет расширять эту таблицу до сколь угодно больших значений углов. Значения, собранные в таблице, используются при решении задач чаще всего, поэтому их рекомендуется выучить наизусть.

Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Таблица котангенсов от 181° до 360°

ctg (181°)	57,289962	ctg (241°)	0,554309	ctg (301°)	-0,600861
ctg (182°)	28,636253	ctg (242°)	0,531709	ctg (302°)	-0,624869
ctg (183°)	19,081137	ctg (243°)	0,509525	ctg (303°)	-0,649408
ctg (184°)	14,300666	ctg (244°)	0,487733	ctg (304°)	-0,674509
ctg (185°)	11,430052	ctg (245°)	0,466308	ctg (305°)	-0,700208
ctg (186°)	9,514364	ctg (246°)	0,445229	ctg (306°)	-0,726543
ctg (187°)	8,144346	ctg (247°)	0,424475	ctg (307°)	-0,753554
ctg (188°)	7,11537	ctg (248°)	0,404026	ctg (308°)	-0,781286
ctg (189°)	6,313752	ctg (249°)	0,383864	ctg (309°)	-0,809784
ctg (190°)	5,671282	ctg (250°)	0,36397	ctg (310°)	-0,8391
ctg (191°)	5,144554	ctg (251°)	0,344328	ctg (311°)	-0,869287
ctg (192°)	4,70463	ctg (252°)	0,32492	ctg (312°)	-0,900404
ctg (193°)	4,331476	ctg (253°)	0,305731	ctg (313°)	-0,932515
ctg (194°)	4,010781	ctg (254°)	0,286745	ctg (314°)	-0,965689
ctg (195°)	3,732051	ctg (255°)	0,267949	ctg (315°)	-1
ctg (196°)	3,487414	ctg (256°)	0,249328	ctg (316°)	-1,03553
ctg (197°)	3,270853	ctg (257°)	0,230868	ctg (317°)	-1,072369
ctg (198°)	3,077684	ctg (258°)	0,212557	ctg (318°)	-1,110613
ctg (199°)	2,904211	ctg (259°)	0,19438	ctg (319°)	-1,150368
ctg (200°)	2,747477	ctg (260°)	0,176327	ctg (320°)	-1,191754
ctg (201°)	2,605089	ctg (261°)	0,158384	ctg (321°)	-1,234897
ctg (202°)	2,475087	ctg (262°)	0,140541	ctg (322°)	-1,279942
ctg (203°)	2,355852	ctg (263°)	0,122785	ctg (323°)	-1,327045
ctg (204°)	2,246037	ctg (264°)	0,105104	ctg (324°)	-1,376382
ctg (205°)	2,144507	ctg (265°)	0,087489	ctg (325°)	-1,428148
ctg (206°)	2,050304	ctg (266°)	0,069927	ctg (326°)	-1,482561
ctg (207°)	1,962611	ctg (267°)	0,052408	ctg (327°)	-1,539865
ctg (208°)	1,880726	ctg (268°)	0,034921	ctg (328°)	-1,600335
ctg (209°)	1,804048	ctg (269°)	0,017455	ctg (329°)	-1,664279
ctg (210°)	1,732051	ctg (270°)	ctg (330°)	-1,732051
ctg (211°)	1,664279	ctg (271°)	-0,017455	ctg (331°)	-1,804048
ctg (212°)	1,600335	ctg (272°)	-0,034921	ctg (332°)	-1,880726
ctg (213°)	1,539865	ctg (273°)	-0,052408	ctg (333°)	-1,962611
ctg (214°)	1,482561	ctg (274°)	-0,069927	ctg (334°)	-2,050304
ctg (215°)	1,428148	ctg (275°)	-0,087489	ctg (335°)	-2,144507
ctg (216°)	1,376382	ctg (276°)	-0,105104	ctg (336°)	-2,246037
ctg (217°)	1,327045	ctg (277°)	-0,122785	ctg (337°)	-2,355852
ctg (218°)	1,279942	ctg (278°)	-0,140541	ctg (338°)	-2,475087
ctg (219°)	1,234897	ctg (279°)	-0,158384	ctg (339°)	-2,605089
ctg (220°)	1,191754	ctg (280°)	-0,176327	ctg (340°)	-2,747477
ctg (221°)	1,150368	ctg (281°)	-0,19438	ctg (341°)	-2,904211
ctg (222°)	1,110613	ctg (282°)	-0,212557	ctg (342°)	-3,077684
ctg (223°)	1,072369	ctg (283°)	-0,230868	ctg (343°)	-3,270853
ctg (224°)	1,03553	ctg (284°)	-0,249328	ctg (344°)	-3,487414
ctg (225°)	1	ctg (285°)	-0,267949	ctg (345°)	-3,732051
ctg (226°)	0,965689	ctg (286°)	-0,286745	ctg (346°)	-4,010781
ctg (227°)	0,932515	ctg (287°)	-0,305731	ctg (347°)	-4,331476
ctg (228°)	0,900404	ctg (288°)	-0,32492	ctg (348°)	-4,70463
ctg (229°)	0,869287	ctg (289°)	-0,344328	ctg (349°)	-5,144554
ctg (230°)	0,8391	ctg (290°)	-0,36397	ctg (350°)	-5,671282
ctg (231°)	0,809784	ctg (291°)	-0,383864	ctg (351°)	-6,313752
ctg (232°)	0,781286	ctg (292°)	-0,404026	ctg (352°)	-7,11537
ctg (233°)	0,753554	ctg (293°)	-0,424475	ctg (353°)	-8,144346
ctg (234°)	0,726543	ctg (294°)	-0,445229	ctg (354°)	-9,514364
ctg (235°)	0,700208	ctg (295°)	-0,466308	ctg (355°)	-11,430052
ctg (236°)	0,674509	ctg (296°)	-0,487733	ctg (356°)	-14,300666
ctg (237°)	0,649408	ctg (297°)	-0,509525	ctg (357°)	-19,081137
ctg (238°)	0,624869	ctg (298°)	-0,531709	ctg (358°)	-28,636253
ctg (239°)	0,600861	ctg (299°)	-0,554309	ctg (359°)	-57,289962
ctg (240°)	0,57735	ctg (300°)	-0,57735	ctg (360°)	∞

График синуса и косинуса

Заметим, что координаты точек, лежащей на единичной окружности, варьируются в пределах от – 1 до 1. Это означает, что значение синуса и косинуса также может находиться только в интервале между этими числами. Получается, что область значения этих ф-ций – это промежуток .

Вычислить синус и косинус можно для абсолютно любого угла поворота, поэтому область определения этих тригонометрических ф-ций – вся числовая прямая, то есть промежуток (– ∞; + ∞).

Изучение графиков тригонометрических функций начнем с синуса. В тригонометрии при построении графика синуса принято по оси Ох откладывать значение угла в радианах, а не в градусах. Из-за этого в школьной тетради тяжело точно отметить точки, через которые проходит этот график. Например, возьмем угол, равный 90°. Его величина в радианах π/2, а sinπ/2 = 1. Получается, график должен пройти через точку (π/2; 1). Однако число π/2 – иррациональное, равное примерно 1,5708…, и точно отложить отрезок длиной π/2 невозможно.

Поэтому в учебных целях график строят приближенно (естественно, что на практике точный график можно построить с помощью компьютера с любой требуемой точностью). Считают, что величина π/2 примерно равна 1,5, то есть дроби 3/2. Если выбрать масштаб, при котором единице равны 2 клеточки, то π/2 – это 3 клеточки. Тогда π/6 – это одна клеточка, а π/3 – две.

Мы знаем, что

sin 0 = 0

sin π/6 = 1/2

sin π/2 = 1

Значит, график синуса должен проходить через точки (0; 0), (π/6; 1/2) и (π/2; 1). Отметим их на координатной плоскости:

С помощью некоторых соображений симметрии можно вычислить ещё несколько точек в диапазоне от 0 до 2π. Не будем перечислять их координаты, а просто отметим их на рисунке:

Теперь соединим их плавной кривой:

Мы получили график синуса на промежутке от 0 до 2π. Но ведь мы можем вычислить синус для любого другого угла! При этом мы используем тот факт, что углам, отличающимся на 2π (на один полный оборот), на единичной окружности соответствует одинаковая точка. То есть этим двум углам будут соответствовать точки на графике с одинаковой ординатой (координатой у), но абсциссами, отличающимися на 2π. Другими словами, точку графика можно перенести на 2π (то есть 12 клеточек) влево или вправо:

Перенести можно не одну точку, а сразу всё множество точек, лежащих между 0 и 2π:

Получили ещё два участка графика, на промежутках и . Эти участки также можно переместить влево и вправо. Продолжая этот процесс бесконечно, мы получим весь график у = sinx:

В результате мы получили кривую, которую называют синусоидой.

Теперь построим график косинуса. Мы знаем что

cos 0 = 1

cos π/3 = 1/2

cos π/2 = 1

Получается, что график должен проходить через точки (0;1), (π/3; 1/2) и (π/2; 0). Отметим их на плоскости:

Можно вычислить, используя симметрию на единичной окружности, ещё несколько точек, которые должны лежать на графике. Не приводя этих вычислений, просто отметим эти точки на плоскости:

Соединяем эти точки плавной линией:

Как и в случае с синусом, участок графика косинуса можно перенести на 2π (12 клеточек влево и вправо). В результате таких действий получим окончательный вид ф-ции у = cosх:

Можно заметить несколько особенностей полученных графиков. Во-первых, все точки обоих графиков лежат в «полосе» между прямыми у = 1 и у = – 1. Это следствие того, что и у синуса, и у косинуса область значений – это промежуток :

Во-вторых, график косинуса очень похож на синусоиду. Он имеет такую же форму, но просто смещен на π/2 (3 клеточки) влево. Это не случайно, в будущих уроках мы узнаем причину этого явления. Но, так как график косинуса – это просто смещенная синусоида, то термин «косинусоида» для его обозначения почти не используется – он просто избыточен.

В-третьих, графики обладают периодичностью. Они «повторяются» с периодом 2π. Дело в том, что углам, отличающимся друг от друга на 2π (то есть ровно на один полный поворот в 360°), на единичной окружности соответствует одна и та же точка. То есть справедливы формулы:

sin (x+ 2π) = sinx

cos (x+ 2π) = sinx

В-четвертых, можно заметить, что график косинуса симметричен относительно оси Ох, а график синуса симметричен относительно начала координат. Это значит, что синус является , а косинус – . Напомним, что ф-ция f(x) является нечетной, если справедливо условие

f(x) = – f(– x)

Если f(x) – четная ф-ция, то должно выполняться условие:

f(x) = f(– x)

Действительно, если отложить на единичной окружности углы α и (– α), то можно заметить, что их косинусы будут равны друг другу, и синусы окажутся противоположными:

Поэтому верны формулы:

sin (– α) = – sinα

cos (– α) = cosα

Примеры решения задач

Разберем пару задачек, для решения которых нужно знать основные тождества. Рассмотрите внимательно предложенные решения и потренируйтесь самостоятельно.

Задачка 1. Найдите cos α, tg α, ctg α при условии, что sin α = 12/13.

Как решаем:

1. Чтобы решить задачу, необходимы следующие тригонометрические тождества:
2. Выражаем cos α из тригонометрической единицы:
3. Далее подставляем значения sin α:
4. Вычисляем:
5. Нам известны значения sin α и cos α, поэтому можно легко найти тангенс, используя формулу:
6. Таким же образом, используя формулу, вычисляем значение котангенса:

Ответ:

Задачка 2. Найдите значение cos α,
если:

Как решаем: 

1. Чтобы решить задачу, необходимы следующие тригонометрические тождества:
2. Выражаем cos α из тригонометрической единицы:
3. Далее подставляем значения sin α:
4. Вычисляем:
5. То же самое проделываем со вторым значение sin α
   Подставляем значения sin α:
6. Вычисляем:

Ответ:

Как видите, задачи решаются достаточно просто, нужно лишь верно применять формулы основных тождеств.

Координаты точки на окружности

А можно ли найти точку (её координаты) на окружности, зная координаты центра окружности, её радиус и угол поворота?

Ну, конечно, можно! Давай выведем общую формулу для нахождения координат точки.

Вот, к примеру, перед нами такая окружность:

Нам дано, что точка \( K({{x}_{0}};{{y}_{0}})=K(3;2)\) – центр окружности. Радиус окружности равен \( 1,5\).

Необходимо найти координаты точки \( P\), полученной поворотом точки \( O\) на \( \delta \) градусов.

Как видно из рисунка, координате \( x\) точки \( P\) соответствует длина отрезка \( TP=UQ=UK+KQ\). Длина отрезка \( UK\) соответствует координате \( x\) центра окружности, то есть равна \( 3\).

Длину отрезка \( KQ\) можно выразить, используя определение косинуса:

\( \cos \ \delta =\frac{KQ}{KP}=\frac{KQ}{r}\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

Тогда имеем, что для точки \( P\) координата \( x={{x}_{0}}+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).

По той же логике находим значение координаты y для точки \( P\).

Таким образом,

\( y={{y}_{0}}+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).

Итак, в общем виде координаты точек определяются по формулам:

\( \begin{array}{l}x={{x}_{0}}+r\cdot \cos \ \delta \\y={{y}_{0}}+r\cdot \sin \ \delta \end{array}\), где

\( {{x}_{0}},{{y}_{0}}\) – координаты центра окружности,

\( r\) – радиус окружности,

\( \delta \) – угол поворота радиуса вектора.

Как можно заметить, для рассматриваемой нами единичной окружности эти формулы значительно сокращаются, так как координаты центра равны нулю, а радиус равен единице:

История

Линия синуса у индийских математиков первоначально называлась «арха-джива» («полутетива»), затем слово «арха» было отброшено и линию синуса стали называть просто «джива». Арабские переводчики не перевели слово «джива» арабским словом «ватар», обозначающим тетиву и хорду, а транскрибировали арабскими буквами и стали называть линию синуса «джиба». Так как в арабском языке краткие гласные не обозначаются, а долгое «и» в слове «джиба» обозначается так же, как полугласная «й», арабы стали произносить название линии синуса «джайб», что буквально обозначает «впадина», «пазуха». При переводе арабских сочинений на латынь европейские переводчики перевели слово «джайб» латинским словом sinus, имеющим то же значение.

Современное обозначение синуса sin и косинуса cos введено Леонардом Эйлером в XVIII веке.

Термины «тангенс» (от лат. «tangens» — касающийся) и «секанс» (лат. «secans» — секущий) были введены датским математиком Томасом Финке (1561—1656) в его книге «Геометрия круглого» (Geometria rotundi, 1583)