Синус, косинус, тангенс и котангенс: определения в тригонометрии, примеры, формулы

Насколько быстр синус?

Я вас немного запутал. Сначала я сказал: «представьте, что синусу нужно 10 секунд, чтобы добраться с 0 до максимума». А сейчас я говорю, что ему надо π секунд, чтобы добраться с 0 до максимума и обратно спуститься к 0. Что происходит?

• sin(x) — это базовая синусная волна, которой действительно требуется π единиц времени, чтобы пройти путь с 0 до максимума и опять до 0 (или 2*π, чтобы обойти свой полный период)
• sin(2x) — это синусоида, которая движется вдвое быстрее
• sin(x/2) — это синусоида, которая движется вдвое медленее базовой

Так что мы используем sin(n*x) , чтобы сделать синус, который будет двигаться так быстро, как нам нужно. Очень часто слово «синусоида» используется для указания общей формы волны, а не конкретной скорости.

Неизбежная окружность

У окружности есть синус. Да. Но увидеть синус внутри окружности — это всё равно, что получить из омлета яйца обратно, когда все они хорошенько друг с другом перемешаны!

Давайте помедленнее. В симуляторе установите такие параметры: vertical:none и horizontal: sine*. Видите, как смайлик движется вперёд-назад? Это и есть движение синуса. Небольшой фокус: обычно синус начинает свой цикл на нейтральной срединной точке и бежит к максимуму. На этот раз мы начинаем в максимуме и падаем к срединной точке. Синус, который «стартует на максимуме», называется косинусом, и это просто версия синуса (как горизонтальная прямая является версией вертикальной прямой)

Настало время для обеих синусных волн: установите параметры vertical:sine и horizontal:sine*. И… у нас получилась окружность!

Горизонтальные и вертикальные «прыжки» в сумме дали круговое движение. В большинстве учебников рисуют окружность и пытаются извлечь из нее синус, но я предпочитаю обратный подход: начать с простого горизонтального или вертикального движения и добавить противоположное.

График показательной функции

В данном параграфе я сразу рассмотрю экспоненциальную функцию , поскольку в задачах высшей математики в 95% случаев встречается именно экспонента.

Напоминаю, что  – это иррациональное число: , это потребуется при построении графика, который, собственно, я без церемоний и построю. Трёх точек, пожалуй, хватит:

График функции  пока оставим в покое, о нём позже.

Основные свойства функции :

Область определения:  – любое «икс».

Область значений:

Обратите внимание, что ноль не включается в область значений. Экспонента – функция положительная, то есть для любого «икс» справедливо неравенство , а сам график экспоненты полностью расположен в верхней полуплоскости

Функция не ограничена сверху: , то есть, если мы начнем уходить по оси  вправо на плюс бесконечность, то соответствующие значения «игрек» стройным шагом будут тоже уходить вверх на  по оси  . Кстати, график экспоненциальной функции будет «взмывать» вверх на бесконечность очень быстро и круто, уже при   

Исследуем поведение функции на минус бесконечности: . Таким образом, ось  является горизонтальной асимптотой для графика функции , если Принципиально такой же вид имеет любая показательная функция , если . Функции , ,  будут отличаться только крутизной наклона графика, причем, чем больше основание, тем круче будет график.

Обратите внимание, что во всех случаях графики проходят через точку , то есть. Это значение должен знать даже «двоечник»

Теперь рассмотрим случай, когда основание . Снова пример с экспонентой  – на чертеже соответствующий график прочерчен малиновым цветом? Что произошло? Ничего особенного – та же самая экспонента, только она «развернулась в другую сторону». Об этой метаморфозе можно получить подробную информацию в статье Построение графиков с помощью геометрических преобразований.

Принципиально так же выглядят графики функций ,  и т. д.

Должен сказать, что второй случай встречается на практике реже, но он встречается, поэтому я счел нужным включить его в данную статью.

График синуса и косинуса

Заметим, что координаты точек, лежащей на единичной окружности, варьируются в пределах от – 1 до 1. Это означает, что значение синуса и косинуса также может находиться только в интервале между этими числами. Получается, что область значения этих ф-ций – это промежуток .

Вычислить синус и косинус можно для абсолютно любого угла поворота, поэтому область определения этих тригонометрических ф-ций – вся числовая прямая, то есть промежуток (– ∞; + ∞).

Изучение графиков тригонометрических функций начнем с синуса. В тригонометрии при построении графика синуса принято по оси Ох откладывать значение угла в радианах, а не в градусах. Из-за этого в школьной тетради тяжело точно отметить точки, через которые проходит этот график. Например, возьмем угол, равный 90°. Его величина в радианах π/2, а sinπ/2 = 1. Получается, график должен пройти через точку (π/2; 1). Однако число π/2 – иррациональное, равное примерно 1,5708…, и точно отложить отрезок длиной π/2 невозможно.

Поэтому в учебных целях график строят приближенно (естественно, что на практике точный график можно построить с помощью компьютера с любой требуемой точностью). Считают, что величина π/2 примерно равна 1,5, то есть дроби 3/2. Если выбрать масштаб, при котором единице равны 2 клеточки, то π/2 – это 3 клеточки. Тогда π/6 – это одна клеточка, а π/3 – две.

Мы знаем, что

sin 0 = 0

sin π/6 = 1/2

sin π/2 = 1

Значит, график синуса должен проходить через точки (0; 0), (π/6; 1/2) и (π/2; 1). Отметим их на координатной плоскости:

С помощью некоторых соображений симметрии можно вычислить ещё несколько точек в диапазоне от 0 до 2π. Не будем перечислять их координаты, а просто отметим их на рисунке:

Теперь соединим их плавной кривой:

Мы получили график синуса на промежутке от 0 до 2π. Но ведь мы можем вычислить синус для любого другого угла! При этом мы используем тот факт, что углам, отличающимся на 2π (на один полный оборот), на единичной окружности соответствует одинаковая точка. То есть этим двум углам будут соответствовать точки на графике с одинаковой ординатой (координатой у), но абсциссами, отличающимися на 2π. Другими словами, точку графика можно перенести на 2π (то есть 12 клеточек) влево или вправо:

Перенести можно не одну точку, а сразу всё множество точек, лежащих между 0 и 2π:

Получили ещё два участка графика, на промежутках и . Эти участки также можно переместить влево и вправо. Продолжая этот процесс бесконечно, мы получим весь график у = sinx:

В результате мы получили кривую, которую называют синусоидой.

Теперь построим график косинуса. Мы знаем что

cos 0 = 1

cos π/3 = 1/2

cos π/2 = 1

Получается, что график должен проходить через точки (0;1), (π/3; 1/2) и (π/2; 0). Отметим их на плоскости:

Можно вычислить, используя симметрию на единичной окружности, ещё несколько точек, которые должны лежать на графике. Не приводя этих вычислений, просто отметим эти точки на плоскости:

Соединяем эти точки плавной линией:

Как и в случае с синусом, участок графика косинуса можно перенести на 2π (12 клеточек влево и вправо). В результате таких действий получим окончательный вид ф-ции у = cosх:

Можно заметить несколько особенностей полученных графиков. Во-первых, все точки обоих графиков лежат в «полосе» между прямыми у = 1 и у = – 1. Это следствие того, что и у синуса, и у косинуса область значений – это промежуток :

Во-вторых, график косинуса очень похож на синусоиду. Он имеет такую же форму, но просто смещен на π/2 (3 клеточки) влево. Это не случайно, в будущих уроках мы узнаем причину этого явления. Но, так как график косинуса – это просто смещенная синусоида, то термин «косинусоида» для его обозначения почти не используется – он просто избыточен.

В-третьих, графики обладают периодичностью. Они «повторяются» с периодом 2π. Дело в том, что углам, отличающимся друг от друга на 2π (то есть ровно на один полный поворот в 360°), на единичной окружности соответствует одна и та же точка. То есть справедливы формулы:

sin (x+ 2π) = sinx

cos (x+ 2π) = sinx

В-четвертых, можно заметить, что график косинуса симметричен относительно оси Ох, а график синуса симметричен относительно начала координат. Это значит, что синус является , а косинус – . Напомним, что ф-ция f(x) является нечетной, если справедливо условие

f(x) = – f(– x)

Если f(x) – четная ф-ция, то должно выполняться условие:

f(x) = f(– x)

Действительно, если отложить на единичной окружности углы α и (– α), то можно заметить, что их косинусы будут равны друг другу, и синусы окажутся противоположными:

Поэтому верны формулы:

sin (– α) = – sinα

cos (– α) = cosα

Особенности построения

Чтобы выявить свойства синусоиды, необходимо построить её график, провести исследование синуса. В алгебре под функцией представлена плоская кривая, которая выражает закон колебания sin с учётом изменения центрального угла. Сама синусоида строится в схематической последовательности:

• проводится горизонтальная ось, на которой откладывается заданная длина волны;
• отрезок делится на равные части;
• слева чертится окружность с радиусом, равным величине амплитуды;
• окружность делится на 12 одинаковых частей;
• через полученные точки проводятся прямые;
• из точек проводятся перпендикуляры к оси.

График можно построить на онлайн ресурсе либо с помощью специальных программ (Excel). Для расчёта используется калькулятор, основная формула y=sin х. При решении задач учитывается длина волны, которая равна 2 пи. Такое преобразование объясняется тем, что значение функции при любом икс совпадает с её периодичностью x+2π.

Пересечение оси Ох происходит в точках перегиба πK. Максимум достигается при положительном π/2+2πK, а обратное — -π/2+2πK. Свойства кривой проявляются в частном либо комплексном виде:

• размах;
• растяжение/сжатие;
• фазовые колебания;
• круговая частота.

При сдвиге графика влево к значению пи/2 образуется косинусоида. Любое изменение величины характерно для квадрата с гармоническими колебаниями. Примеры подобных явлений: движение маятника, сбои с напряжением в электросети. Другой случай с синусоидальными колебаниями — звук. Он редко бывает чистым, соответствуя y=A sin wt, где:

• А (а) — модуль неизвестной (расстояние от начала координат до точки А);
• w — угловая частота;
• t — время.

Определение

Синусоидальные сигналы описывают колебательные явления. Когда колебания затухают, каждый последующий пик уменьшается с течением времени.

Истинная синусоида, начинающаяся в момент времени = 0, начинается в начале координат (амплитуда = 0). Косинусоидальная волна начинается с максимального значения из-за разницы фаз от синусоидальной волны. Данная синусоидальная форма волны может иметь промежуточную фазу, имеющую как синусоидальные, так и косинусоидальные компоненты. Термин «затухающая синусоида» описывает все такие затухающие формы волны, независимо от их начальной фазы.

Наиболее распространенной формой демпфирования, которая обычно предполагается, является экспоненциальное затухание, при котором внешняя огибающая последовательных пиков представляет собой экспоненциальную кривую затухания.

Использование формул

Раннее мы рассмотрели подробности, касающиеся нахождению значений основных функций с использованием формул тригонометрии. Для того, чтобы определить значение для определенного угла, используйте формулы и значения основных функций для известных углов.

Для примера вычислим значение тангенса π8, который был использован в предыдущем примере. Возьмем за основу основные формулы тригонометрии.

Пример 8

Найдите значение tgπ8 . 

Используя формулу тангенса, преобразуем уравнение до следующего равенства tg2π8=1-cosπ41+cosπ4 . Значения косинуса угла π4 известны из предыдущего примера. Благодаря этому мы быстро найдем значения тангенса.tg2π8=1-cosπ41+cosπ4=1-221+22=2-22+2==(2-2)2(2+2)·(2-2)=(2-2)222-(2)2=(2-2)22 

Угол π8 является углом первой четверти. Согласно таблице основных тригонометрических функций по четвертям координатной плоскости, тангенс этого угла положителен. Продолжаем вычисления для дальнейшего решения: tgπ8=tg2π8=(2-2)22=2-22=2-1

tgπ8=2-1.

Уравнения

Общее уравнение для экспоненциально затухающей синусоиды может быть представлено как:

у ( т ) знак равно А ⋅ е — λ т ⋅ потому что ⁡ ( ω т + ϕ ) {\ Displaystyle у (т) = А \ CDOT е ^ {- \ лямбда т} \ CDOT \ соз (\ омега т + \ фи)}

куда:

у ( т ) {\ Displaystyle у (т)} — мгновенная амплитуда в момент времени t ;

А {\ displaystyle A} — начальная амплитуда огибающей;

λ {\ displaystyle \ lambda} — скорость убывания, обратная единицам времени независимой переменной t ;

ϕ {\ displaystyle \ phi} — фазовый угол при t = 0;

ω {\ displaystyle \ omega} — угловая частота ;

Другие важные параметры включают:

• Частота :, количество циклов в единицу времени. Он выражается в обратных единицах времени , или в герцах . ж знак равно ω ( 2 π ) {\ Displaystyle F = \ omega / (2 \ pi)} т — 1 {\ displaystyle t ^ {- 1}}
• Постоянная времени :, время, за которое амплитуда уменьшается в e раз . τ знак равно 1 λ {\ Displaystyle \ тау = 1 / \ лямбда}
• Период полураспада — это время, необходимое для уменьшения огибающей экспоненциальной амплитуды в 2 раза. Оно равно примерно . пер ⁡ ( 2 ) λ {\ displaystyle \ ln (2) / \ lambda} 0,693 λ {\ displaystyle 0.693 / \ lambda}
• Коэффициент демпфирования : безразмерная характеристика скорости затухания относительно частоты, приблизительно или точно . ζ {\ displaystyle \ zeta} ζ знак равно λ ω {\ displaystyle \ zeta = \ lambda / \ omega} ζ знак равно λ λ 2 + ω 2 < 1 {\ displaystyle \ zeta = \ lambda / {\ sqrt {\ lambda ^ {2} + \ omega ^ {2}}} <1}
• Q-фактор : это еще одна безразмерная характеристика величины демпфирования; высокий Q указывает на медленное затухание по отношению к колебаниям. Q знак равно 1 ( 2 ζ ) {\ Displaystyle Q = 1 / (2 \ zeta)}

Тангенс угла

Синус и косинус являются основными, или, как говорят математики, прямыми тригонометрическими ф-циями. Однако есть ещё две производных тригонометрических ф-ций – тангенс и котангенс. Напомним, что тангенс угла в прямоугольном треугол-ке – это отношение противолежащего катета к прилежащему. Однако в тригонометрии куда удобнее пользоваться другим его определением. Тангенс – это отношение синуса угла к его косинусу:

Для получения тангенса на единичной окружности необходимо продолжить прямую, образующую угол α, до её пересечения с прямой х = 1. Точка их пересечения будет иметь координаты (1; tgα):

Заметим, что если α относится ко второй четверти, то тангенс получится отрицательным. Действительно, с одной стороны, соответствующая прямая пересечет линию х = 1 в точке, лежащей ниже оси Ох:

С другой стороны, мы знаем, что во второй четверти синус положителен, а косинус – отрицателен. Тогда их отношение, то есть тангенс, должно быть отрицательным:

Очевидно, что тангенс должен быть периодической ф-цией. Однако его период вдвое меньше 2π и составляет π. Действительно, углы, отличающиеся на π, будут иметь одинаковое значение тангенса, что видно из построения:

Это значит, что справедлива формула:

tg(α + π) = tg α

С другой стороны, это означает, что тангенсы углов из III четверти положительны, ведь они равны тангенсам углов из I четверти. Аналогично можно утверждать, что тангенсы углов из IV четверти отрицательны:

Также тангенс является нечетной ф-цией. Чтобы убедиться в этом, найдем с помощью единичной окружности tgα и tg (– α):

Из построения видно, что tg (– α) = tgα, поэтому тангенс попадает под определение нечетной ф-ции.

Доказать этот факт можно и иначе. Вспомним, что синус – это нечетная ф-ция, а косинус – четная. Тогда, используя определение тангенса, можно записать:

Для вычисления тангенса проще всего использовать его определение. Мы знаем синусы и косинусы стандартных углов, а потому, деля их друг на друга, сможем найти и тангенсы стандартных углов:

Ещё раз отметим, что важнее всего запомнить значения синусов и косинусов стандартных углов. Зная их, школьник всегда сможет самостоятельно вычислить тангенс.

Можно ли вычислить тангенс для угла π/2, то есть для 90°? Сделать это не получится, ведь cosπ/2 равен нулю. Если подставить cosπ/2 в формулу для вычисления тангенса, то получится деление на ноль! Так как тангенс – периодическая ф-ция, то его нельзя вычислить и в тех точках, которые отличаются от π/2 на целое число π.

В частности, тангенс не определен при х = – π/2.

Сведение к углу

Удобнее всего находить значения для угла от до 90 °. Сведение к углу из интервала от до 90 °. Если угол не соответствует заданному интервалу, можно использовать законы и тождества, которые мы учили на уроках геометрии. Тогда мы сможем найти значение, которое будет равно для угла указанных пределах.

Пример 7

Задача заключается в том, чтобы найти синус 210°. Представим 210 как разность или сумму, разложив число на несколько. Воспользуемся соответствующей формулой для приведения.  Используем формулу для нахождения значения синуса 30°: sin 210°=sin(180°+30°)=-sin 30°=-12 , или косинуса 60 ° sin 210°=sin(270°-60°)=-cos 60°=-12.

Для того, чтобы решать задачи было намного проще, при нахождении значений переходите к углам из интервала от до 90° с помощью формул приведения, если угол не находится в этих пределах.

Основные понятия

Кривая получается из синусоидальной дуги путём смещения к пи/2 в сторону со знаком минус. Кривая представляет график функции у=sin x. В формуле синусоиды y=a+b cos (cx+d) присутствуют следующие аргументы:

• a: показывает сдвиг графика синусоиды по оси Oy (чем больше значение, тем выше прямая);
• b: описывает растяжения функции по оси Oy (чем выше постоянная, тем сильнее колебания);
• c: определяет растяжение по оси Ох (если постоянная увеличивается, наступает период колебаний);
• d: описывает сдвиг по оси Ох (если d увеличивается, тогда при построении синусоиды учитывается сдвиг в область со знаком минус по оси абсцисс).

Определение 2: Бесконечный ряд

Я спрятал слона в комнате: как мы вообще вычисляем синус? Мой калькулятор, что, каждый раз рисует окружность и замеряет его?

Рад вам поведать, как можно вычислить синус без окружностей.

Синус — это ускорение в сторону, противоположную тому, где вы находитесь.

Пользуясь нашим примером с банковским счётом: представьте, что ваш шеф каждую неделю решил менять вашу зарплату на сумму, противоположную текущей на вашем банковском счёте. Если у вас сейчас есть 50 рублей, на следующей неделе шеф выдаст на 50 рублей меньше. Конечно, поскольку ваш доход будет 75 рублей, вы всё еще будете в плюсе (75 — 50) но в итоге ваш баланс уменьшится, поскольку «прибавки» шефа превзойдут ваши доходы.

Но не отчаивайтесь! Как только баланс становится отрицательным (скажем, у вас -50 рублей), ваш босс выдаст вам на целых 50 рублей больше. Затем снова баланс станет отрицательным (с его ростом шеф выдает всё меньше денег), и так будет продолжаться постоянно. Баланс будет то положительный, то нулевой, то отрицательный.

Этот пример также поясняет, почему в нейтральной точке (в 0) скорость синуса максимальна: когда вы на максимуме, вы начинаете падать и собирать всё больше «отрицательных прибавок», которые довольно быстро тянут вас к 0. После прохождения 0 вы начинаете получать наиболее значительные положительные прибавки и замедляетесь., потому что как только уходите в плюс, шеф опять начинает отнимать от вашей зарплаты.

Между прочим: поскольку синус — это ускорение, обратное к вашему текущему положению, а окружность сделана из горизонтальной и вертикальной синусоиды… вы поняли! Круговое движение может быть описано как «постоянное движение в направлении, противоположном текущей позиции, по направлению к горизонтальному и вертикальному центру».

7 Графики синуса и косинуса

Построим график функции . При этом нам опять пригодятся
часы из разд. 2.1.

Если , то, очевидно, . Когда возрастает от 0 до
, число возрастает от 0 до 1 (представьте себе,
как меняется ордината конца стрелки на наших фирменных часах).
Участок графика для от 0 до изображен на
рис. .
При

Чем ближе к , тем более полого идет наша кривая. Это
происходит потому, что проекция конца стрелки на ось
ординат, колеблясь по отрезку , быстрее всего
движется в середине отрезка и замедляется у его краев: мы
это уже обсуждали в разд. 2.1.

симметричны относительно прямой

Задача 7.1  
Запишите уравнение прямой, касающейся графика функции
в точке с координатами .

Кривая на рис б
центрально симметрична относительно точки
с координатами ; это следует из другой формулы
приведения:
(рис. б).

После того, как у нас есть участок графика функции для

, весь график строится уже просто. В самом деле,
когда конец стрелки прошел путь , стрелка вернулась
в исходное положение; при дальнейшем движении все будет
повторяться. Значит, график будет состоять из таких же кусков,
как на рис б. Окончательно график функции
выглядит так, как на рис. .

Теперь построим график функции . Можно было бы строить его так же, как
мы строили график синуса. Мы, однако, изберем другой путь,
который позволит использовать уже имеющуюся у нас информацию.

Именно, воспользуемся формулой приведения
. Эту формулу можно понимать так: функция
принимает те же значения, что и функция , но на
раньше. Например, функция принимает значение 1 при
, а функция
принимает это же
значение уже при . На графике это означает следующее: для
каждой точки графика есть точка графика ,
у которой ордината та же, а абсцисса на меньше
(рис. ).

сдвинуть график

Итак, мы выяснили, что график косинуса получается преобразованием
(сдвигом) из графика синуса. Случаи, когда график одной функции
можно получить преобразованием из графика другой функции,
интересны и сами по себе, поэтому скажем о них несколько слов.

Как, например, будет выглядеть график функции ? Ясно,
что ординаты точек этого графика получаются из ординат
соответствующих точек графика умножением на 2, так что
наш график изобразится сплошной кривой на рис. . Можно
сказать, что график получается из графика растяжением в два раза вдоль оси
ординат.

сжатием в 2 раза к оси ординат.

Попробуем еще построить график функции 
.
Понятно, что он должен получаться каким-то преобразованием из
графика . На первый взгляд может показаться, что это
преобразование — сдвиг влево на вдоль оси абсцисс, по
аналогии с тем, что изображено на рис. . Однако, если
бы это было так, то вышло бы, например, что функция

принимает значение 1 при

, что не соответствует действительности
(проверьте!). Правильно рассуждать так:
, так что функция
принимает те
же значения, что и функция , но на раньше. Так
что сдвиг влево — не на
, а на (рис. ).

Кривые, являющиеся графиками функций
, где ,
, называются синусоидами. Заметим, что кривой
«косинусоида» вводить не надо: как мы видели, график косинуса
— это та же кривая, что и график
синуса, только иначе
расположенная относительно осей координат.

Задача 7.2  
Каковы координаты точек, помеченных на
рис.  вопросительными знаками?

Задача 7.3  
Возьмите свечу, тонкий лист бумаги и острый нож. Намотайте лист
бумаги на свечу в несколько слоев и аккуратно разрежьте эту свечу
вместе с бумагой наискосок ножом. Теперь разверните бумагу. Вы
увидите, что она оказалась разрезанной по волнистой линии.
Докажите, что эта волнистая линия является синусоидой.

Задача 7.4  
Постройте графики функций:

Замечание. Если вы строите графики
тригонометрических функций на клетчатой бумаге, удобно выбрать
немного разные масштабы по осям, с тем чтобы на оси абсцисс
числу  соответствовало целое число клеточек. Например, часто
выбирают такой масштаб: по оси ординат отрезок длины 1 занимает
две клеточки, по оси абсцисс отрезок длины занимает 6
клеточек.

Задача 7.5  
Постройте графики функций:
а)
;
б)
.

Посмотрим, как выглядят на графиках уже известные нам решения
уравнений и . Эти решения являются
абсциссами точек пересечения горизонтальной прямой
с графиком функций (соответственно ). На
рис. , хорошо видны две серии решений,
получающихся при .

По графикам синуса и косинуса видно, на каких промежутках эти
функции возрастают, а на каких убывают. Ясно, например, что
функция возрастает на отрезках
,

,
,…- одним словом, на
всех отрезках
, где
,
и убывает на всех отрезках
, где

.

Задача 7.6  
На каких отрезках возрастает и на каких убывает
функция ?

Задача 7.7  
Сравните числа:

Задача 7.8  
Расположите в порядке возрастания:
, , , , , .

        Написать комментарий

Графики простейших функций — линейная, параболы, гиперболы, экспоненты, показательные, степенные, логарифмическая, синус, косинус, тангенс, котангенс изучаемых в школе Справочная таблица.

• ;
• ;
•   ;
• ;
• ;

Название функции	Формула функции	График функции	Название графика	Комментарий
Линейная, прямая пропорциональность	y = kx		Прямая	Cамый простой частный случай линейной зависимости — прямая пропорциональность у = kx, где k ≠ 0 — коэффициент пропорциональности. На рисунке пример для k = 1, т.е. фактически приведенный график иллюстрирует функциональную зависимость, которая задаёт равенство значения функции значению аргумента.
Линейная, прямая пропорциональность со сдвигом	y = kx + b		Прямая	Общий случай линейной зависимости: коэффициенты k и b — любые действительные числа. Здесь k = 0.5, b = -1.
Квадратичная функция	y = x2		Парабола	Простейший случай квадратичной зависимости — симметричная парабола с вершиной в начале координат.
Квадратичная функция	y = ax2 + bx + c		Парабола	Общий случай квадратичной зависимости: коэффициент a — произвольное действительное число не равное нулю (a принадлежит R, a ≠ 0), b, c — любые действительные числа
Степенная функция	y = x3		Кубическая парабола	Самый простой случай для целой нечетной степени. Случаи с коэффициентами изучаются в разделе «Преобразование графиков функций».
Степенная — корень квадратный	y = x1/2		График функцииy = √x	Самый простой случай для дробной степени (x1/2 = √x). Случаи с коэффициентами изучаются в разделе «Преобразование графиков функций».
Степенная — обратная пропорциональность	y = k/x		Гипербола	Самый простой случай для целой отрицательной степени (1/x = x-1) — обратно-пропорциональная зависимость. Здесь k = 1.
Показательная функция	y = ex		Экспонента	Экспоненциальной зависимостью называют показательную функцию для основания e — иррационального числа примерно равного 2,7182818284590…
Показательная функция	y = ax		График показательной функции а>1	Показательная функция определена для a > 0 и a ≠ 1. Графики функции существенно зависят от значения параметра a. Здесь пример для y = 2x (a = 2 > 1).
Показательная функция	y = ax		График показательной функции 0<a<1	Показательная функция определена для a > 0 и a ≠ 1. Графики функции существенно зависят от значения параметра a. Здесь пример для y = 0,5x (a = 1/2 < 1).
Логарифмическая функция	y = ln(x)		График логарифмической функции — натуральный логарифм	График логарифмической функции для основания e (натурального логарифма) иногда называют логарифмикой.
Логарифмическая функция	y = logax		График логарифмической функции — логарифм по основанию а>1	Логарифмы определены для a > 0 и a ≠ 1. Графики функции существенно зависят от значения параметра a. Здесь пример для y = log2x (a = 2 > 1).
Логарифмическая функция	y = logax		График логарифмической функции 0<a<1	Логарифмы определены для a > 0 и a ≠ 1. Графики функции существенно зависят от значения параметра a. Здесь пример для y = log0,5x (a = 1/2 < 1).
Синус	y = sinx		Синусоида	Тригонометрическая функция синус. Случаи с коэффициентами изучаются в разделе «Преобразование графиков функций».
Косинус	y = cosx		Косинусоида	Тригонометрическая функция косинус. Случаи с коэффициентами изучаются в разделе «Преобразование графиков функций».
Тангенс	y = tgx		Тангенсоида	Тригонометрическая функция тангенс. Случаи с коэффициентами изучаются в разделе «Преобразование графиков функций».
Котангенс	y = сtgx		Котангенсоида	Тригонометрическая функция котангенс. Случаи с коэффициентами изучаются в разделе «Преобразование графиков функций».

Линии тригонометрических функций

Определение 2

Линии тригонометрических функций – это линии, которые изображаются вместе с единичной окружностью. Они имеют точку отсчета и единичный отрезок, которая равна единице в координатной системе. Они используются для наглядного изображения значений.

Рассмотрим их на подробном рисунке

Как найти sin α, cos α, tg α, ctg α

Для тридцати-, сорокопяти-, шестидесятиградусных углов мы имеем определенные значения. Чтобы найти их, можно воспользоваться правилами о прямоугольном треугольнике с острыми углами. Для этого используется теорема Пифагора.

Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Пример 5

Для того, чтобы узнать значения для углов тридцати- и шестидесятиградусных углов изображаем прямоугольный треугольник с углами данной величины. Длина гипотенузы должна быть равна 1. Согласно теореме Пифагора, катет, лежащий напротив тридцатиградусного угла,  равен половине гипотенузы. Воспользуемся теоремой: 12-122=32 .  Так как синус угла – это катет, деленный на гипотенузу, вычисляем, что sin 30°=121=12 и sin 60°=321=32 . 

Косинус можно найти по формуле, которая предполагает деление прилежащего катета на гипотенузу. Вычисляем: cos 30°=321=32 и cos 60°=121=12 .

Тангенс можно найти по формуле, которая предполагает деление противолежащего катета на прилежащий. Котангенс находим по такой же схеме – делим прилежащий катет на противолежащий. 

Вычисляем: tg 30°=1232=13=33 и tg 60°=3212=3 . Находим котангенс по подобной схеме: сtg 30°=3212=3 и сtg 60°=1232=13=33 .  После этого приступаем к вычислению значений основных тригонометрических функций для сорока пятиградусного угла. Используем равнобедренный треугольник с углами 45° и гипотенузой, которая равна 1. Используем теорему Пифагора. Согласно формуле, длины катетов равны 22 . Т

Теперь мы сможем найти значения для основных тригонометрических функций. Используем формулу, которая предполагает деление длин соответствующих сторон рассматриваемого треугольника.

Выводим формулу: ctg 45°=2222=1 . 

Полученные значения для тридцати-, сорокапяти-, шестидесятиградусных углов будут использоваться для решения различных задач. Запишите их – они часто будут использоваться. Для удобства можно использовать таблицу значений.

Проиллюстрируем значения для тридцати-, сорокапяти-, шестидесятиградусных углов с использованием окружности и линий.

Подытожим

Моей целью было отделить синус от тривиальных математических определений («часть окружности») и придать ему свою собственную форму:

• Синус — это плавное, колебательное движение между минимумом (-1) и максимумом (1). Математически вы ускоряетесь обратно направлению своего движения. Этот «отрицательный процент» удерживает синус от бесконечного роста.
• Синус встречается в окружностях и треугольниках (а также вибрациях, звуковых волнах, колебаниях маятника и т.д.).
• π — это время, за которое sin(x) проходит от 0 до 0. Он не «принадлежит» окружностям больше, чем 0 или 1.

Синус станет одним их ваших умственных инструментов (Хм, мне нужна формула для описания плавных изменений…).

В итоге мы поймем основы интуитивно (е, π, радианы, мнимые числа, синус…) и научимся смешивать их в великолепный математический салат. Приятного аппетита!

Перевод статьи «Intuitive Understanding of Sine Waves»

График логарифмической функции

Рассмотрим функцию с натуральным логарифмом .
Выполним поточечный чертеж:

Если позабылось, что такое логарифм, пожалуйста, обратитесь к школьным учебникам.

Основные свойства функции :

Область определения:

Область значений: .

Функция не ограничена сверху: , пусть и медленно, но ветка логарифма уходит вверх на бесконечность.
Исследуем поведение функции вблизи нуля справа: . Таким образом, ось  является вертикальной  асимптотой для графика функции при «икс» стремящемся к нулю справа.

Обязательно нужно знать и помнить типовое значение логарифма: .

Принципиально так же выглядит график логарифма при основании : , ,  (десятичный логарифм по основанию 10) и т.д. При этом, чем больше основание, тем более пологим будет график.

Случай  рассматривать не будем, что-то я не припомню, когда последний раз строил график с таким основанием. Да и логарифм вроде  в задачах высшей математики ооочень редкий гость.

В заключение параграфа скажу еще об одном факте: Экспоненциальная функция  и логарифмическая функция  – это две взаимно обратные функции. Если присмотреться к графику логарифма, то можно увидеть, что это – та же самая экспонента, просто она расположена немного по-другому.